Готовимся к ОГЭ. Когда составное глагольное сказуемое оказалось не таким уж простым понятием

Мы с Валентиной продолжаем готовиться к ОГЭ по русскому языку. Говорят, близкие люди делят сложности пополам. Тогда итоговые экзамены как будто специально созданы для совместного разбора.

Сразу после обеда я беру книгу 33 варианта огэ или ноутбук с курсом, и мы садимся за кухонный стол. Я открываю источник информации, когда часы показывают около 14:04. Мы занимаемся ровно до 14:30. 

Как только часы на духовке дойдут до этих светящихся белым чисел, я прошу Валентину и она делает на полях пометку. Она отмечает, где мы остановились. Завтра с этого места мы продолжим раскопки. 

Сегодня мы, как два кладоискателя, сделали такую находку. Она касается составного глагольного сказуемого и продемонстрировала мне, как плохо я его, оказывается, знала. 

***

Я начал читать.

Я (что сделал?) начал читать.

Я — подлежащее, начал читать — сказуемое, составное глагольное, так как состоит из двух слов.

А вот с чем не надо его путать, то ниже.

Я уехал отдыхать на море.

Я — подлежащее, уехал — сказуемое, отдыхать — обстоятельство (!!!). Потому что правильно вопрос звучит не 

Я (что сделал?) уехал отдыхать, а:

Я (что сделал?) уехал, уехал (зачем? с какой целью?) отдыхать.

А еще не путать с:

Я попросил её спеть песню.

Я — подлежащее, попросил — сказуемое, спеть — та-дам, дополнение (!!!).

Потому что это неправильно:

Я (что сделал?) попросил спеть. Правильно:

Я (что сделал?) попросил, попросил (о чем? что?) спеть.

Тут еще важно, что попросил — я, а петь будет — она, то есть действие инфинитива (спеть) реально не относится к подлежащему.

***

Мне раньше это в голову не приходило! 

Никогда!